Series de funciones

Una vez establecidos los hechos fundamentales para la convergencia uniforme de las sucesiones de funciones, los resultados correspondientes para series de funciones se obtienen de forma natural considerando la sucesión de las sumas parciales.

Definición 1. Se dice que una serie de funciones \displaystyle{\sum_{n=1}^\infty f_n} converge puntualmente hacia una función f sobre un dominio D \subseteq \mathbb{R} si para todo x \in D se tiene \displaystyle{f(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n(x).}

Es decir, la serie de funciones \displaystyle{\sum_{n=1}^\infty f_n} converge puntualmente hacia f si la sucesión (s_n) de las sumas parciales s_n :=\displaystyle{\sum_{k=1}^n f_k} converge puntualmente hacia f.

Definición 2. Se dice que una serie de funciones \displaystyle{\sum_{n=1}^\infty f_n} converge uniformemente hacia f sobre D \subseteq \mathbb{R} si la sucesión (s_n) de las sumas parciales converge uniformemente hacia f.

Corolario 1. Si \displaystyle{\sum_{n=1}^\infty f_n} es una serie de funciones continuas que converge uniformemente sobre D hacia una función f entonces la función f es continua en D.

Corolario 2. Si una serie de funciones \displaystyle{\sum_{n=1}^\infty f_n} integrables Riemann en [a,b] converge uniformemente sobre [a,b] hacia una función f integrable Riemann en [a,b] entonces

\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx = \sum_{n=1}^\infty \int_a^b f_n(x)\,dx.}

Corolario 3. Supongamos que una serie de funciones \displaystyle{\sum_{n=1}^\infty f_n} derivables en [a,b] converge puntualmente sobre [a,b] hacia cierta función f, y supongamos que la serie \displaystyle{\sum_{n=1}^\infty f^\prime_n} de las derivadas converge uniformemente en [a,b] hacia una función continua en [a,b]. Entonces la función f\; es derivable y además se tiene

\displaystyle{f^\prime(x)=\sum_{n=1}^\infty f^\prime_n(x).}

El siguiente resultado establece una condición suficiente para la convergencia uniforme de una serie de funciones, que exista una serie convergente de mayorantes numéricas.

Teorema. (Prueba de mayoración de Weierstrass.)  Sea \displaystyle{\sum_{n=1}^\infty f_n} una serie de funciones definidas en un dominio D \subseteq \mathbb{R},\; sea (M_n) una sucesión de números reales positivos y supongamos que

  • |f_n(x)| \leq M_n\; para todo x \in D,
  • \displaystyle{\sum_{n=1}^\infty M_n < \infty.}

Entonces para todo x \in D,\; la serie \displaystyle{\sum_{n=1}^\infty f_n(x)\;} converge absolutamente, y además la serie de funciones \displaystyle{\sum_{n=1}^\infty f_n} converge uniformemente sobre D\; hacia \displaystyle{f(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n(x).}

Acerca de Miguel Lacruz

Gijón, Asturias, España, 1963
Esta entrada fue publicada en SFIL_1011 y etiquetada , , , , , . Guarda el enlace permanente.

13 respuestas a Series de funciones

  1. Mª Asunción JIménez Cordero dijo:

    Creo que en el Corolario 3 del tema 3 hay una errata, pues en los apuntes de clase tengo que f’ (x) = sumatorio f’n(x).

  2. Andrés dijo:

    ¿Podría hacer el Ejercicio 4 de la Relación 3?
    Gracias

    • Andrés, me alegra que preguntes por este ejercicio porque era un cabo suelto que quedaba por atar. Se trata de probar que la serie de funciones

      \displaystyle{\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{x^2+n}{n^2}}

      converge uniformemente sobre cualquier intervalo acotado [a,b].

      El criterio de Leibniz asegura que la serie de funciones converge puntualmente sobre \mathbb{R} hacia f(x), digamos. Sea M=\max\{|a|,|b|\}. La demostración del criterio de Leibniz (Spivak, p.657) implica que se tiene la estimación

      \displaystyle{\left | f(x)-\sum_{k=1}^n (-1)^k \frac{x^2+k}{k^2}\right | \leq \frac{x^2+(n+1)}{(n+1)^2}}

      y por lo tanto

      \displaystyle{\sup \left \{ \left | f(x)-\sum_{k=1}^n (-1)^k \frac{x^2+k}{k^2}\right |: x \in [a,b] \right \} \leq \frac{M^2+(n+1)}{(n+1)^2} \rightarrow 0 }

      cuando n \rightarrow \infty, luego la convergencia es uniforme sobre el intervalo [a,b]. Sin embargo la convergencia no es absoluta porque según el criterio de comparación asintótica

      \displaystyle{\sum_{n=1}^\infty  \frac{x^2+n}{n^2} \sim \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}=\infty.}

  3. Jesús dijo:

    Hola, podría poner la resolución del ejercicio 9 del tema 3 (el de la clase de C-infinito). Gracias por adelantado

  4. Pedro dijo:

    ¿Podría hacer el ejercicio 7 de la relacion 2?
    Tengo dudas sobretodo en el apartado c) ya que creo que por añadir el 0 a la sucesión que ya sé que converge uniformemente,en este ejercicio, no cambia la convergencia ya que para todo n, fn(0) = 0.

    ¿El razonamiento es correcto?
    Gracias

  5. Ana del Valle dijo:

    Tengo una duda sobre una situación que me ha salido en un ejercicio
    Desarrollo el ejercicio de la siguiente forma:
    En una sucesión de funciones nos piden que veamos si converge uniformemente sobre todo R.
    La sucesión converge puntualmente a una función continua con lo que busco M_n (que es el supremo de la sucesión de funciones menos la funcion a la que tiende, todo en valor absoluto, para todo x de R)
    Pues bien, veo que la funcion que me queda es decreciente, si tuviera que el intervalo al que pertenece la x es por ejemplo (1,2) sustituiría x=1 pero tengo que la x pertenece a todo R y no puedo tomar x=-infinito, con lo que la única herramienta que se me ocurre es decir que M_n es menor que el límite de una sucesión de funciones (con x tendiendo a infinito) que tienda a 0, lo cual implicaria que M_n es 0 con lo que converge uniformemente.
    Entonces llego a una conclusión: la unica forma que tenemos de demostrar que una sucesión de funciones converge uniformemente sobre todo R es mayorando M_n por el límite de otra sucesión que tienda a 0.
    Lo cual me da un problema, y es que tengo que saber encontrar una sucesión mayor a la que tenga que tienda a 0.

    ¿Es mi conclusión cierta?, ¿qué me puede ayudar a encontrar esa sucesión?

  6. Ana del Valle dijo:

    En realidad esta duda iría en el apartado “Sucesiones de Funciones”, tema 2

  7. Ana del Valle dijo:

    osea que sólo habría que ver que el límite(cuando n->inf.) del límite ese es cero.
    Con lo que en general para todas las fn que estén definidas en todo R y sea siempre crecientes o decrecientes habria que ver si el limite (cuando n->inf.) de ese limite es cero (con x->-inf. si es decreciente y x->+inf. si es creciente)

    Bueno y en realidad también tendria que cumplirse que nuestra g tienda puntualmente a la función g(x)=0 porque si no Mn no seria el sup{|g_n-0|, x <-R}, seria:
    sup{|g_n-g(x)|, x inf. del límite que ha puesto en el comentario anterior es 0.

    ¿correcto?

  8. Ivan dijo:

    Hola Miguel, esta vez queria hacerte una consulta relacionada con las Series de Mc Laurin. En este caso me piden calcular una serie de Mc Laurin para la funcion
    f(x)=3/((1-x)*(1+2x)) con la condicion “sin calcular los coeficientes de Taylor” . A q se refiere con esto? Muchas gracias

    • Iván, se pide calcular un desarrollo en serie de potencias de la forma

      \displaystyle{f(x)= \sum_{n=0}^\infty a_n x^n,}

      donde los coeficientes de Taylor vienen dados por \displaystyle{a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}.}

      Se trata de hallar este desarrollo sin necesidad de calcular los coeficientes de Taylor, es decir, sin recurrir al cálculo de derivadas. Como la función en cuestión es una función racional, se me ocurre que primero se puede calcular su descomposición en fracciones simples para después desarrollar cada fracción como una serie geométrica y finalmente combinar los desarrollos.

      Tenemos en primer lugar la descomposición en fracciones simples

      \displaystyle{f(x)=\frac{3}{(1-x)(1+2x)}= \frac{1}{1-x}+\frac{2}{1+2x}.}

      A continuación observamos que

      \displaystyle{\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n,}

      \displaystyle{\frac{2}{1+2x}=2 \sum_{n=0}^\infty (-2x)^n,}

      y combinando ambas series geométricas, finalmente obtenemos

      \displaystyle{f(x)=\sum_{n=0}^\infty \left [ 1+(-1)^n \cdot 2^{n+1} \right ]x^n.}

      Saludos,
      — Miguel

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s