Integrales impropias

El objetivo de esta entrada es extender la idea de integral a situaciones donde el intervalo de integración no es acotado o la función a integrar no es acotada. Se suele simbolizar por \mathcal{R}([a,b]) al conjunto de las funciones integrables Riemann en el intervalo [a,b].

1. Integrales impropias de primera especie

Se llaman así las integrales de funciones extendidas a intervalos no acotados.

Definición 1. Sea f: [\,a, \infty) \rightarrow \mathbb{R} una función tal que f \in \mathcal{R}([a,A]) \;\;\forall A>a.  Se dice que la integral impropia de primera especie \displaystyle{\int_a^\infty f(x)\,dx} converge si existe el límite

\displaystyle{\int_a^\infty f(x)\,dx := \lim_{A \rightarrow \infty} \int_a^A f(x)\,dx.}

Ejemplo 1.  \displaystyle{\int_0^\infty \frac{dx}{1+x^2} =  \lim_{A \rightarrow \infty} \int_0^A \frac{dx}{1+x^2} =  \lim_{A \rightarrow \infty} ( \arctan A - \arctan 1) =  \frac{\pi}{2}\,,}
y por lo tanto la integral converge.

Ejemplo 2.  \displaystyle{\int_1^\infty \frac{dx}{x} = \lim_{A \rightarrow \infty} \int_1^A  \frac{dx}{x}  = \lim_{A \rightarrow \infty} (\log A - \log 1) = \infty,}
y por lo tanto la integral diverge.

Ejemplo 3.  \displaystyle{ \int_0^\infty \sin x \,dx = \lim_{A \rightarrow \infty} \int_0^A  \sin x \,dx =  \lim_{A \rightarrow \infty} (\cos 0 - \cos A),}
y como este límite no existe, la integral no converge ni diverge.

Ejercicio 1.  Estudiar la convergencia de la integral impropia \displaystyle{\int_1^\infty \frac{dx}{x^p}}\;\;  según los valores del parámetro p \in \mathbb{R}, y calcular su valor cuando sea convergente.

Observación 1.  Sea f: [\,a, \infty) \rightarrow \mathbb{R}\;\; y sea A>a.\;\; La integral impropia \displaystyle{\int_a^\infty f(x)\,dx} converge si y sólo si la integral impropia \displaystyle{ \int_A^\infty f(x)\,dx} converge.

A continuación se establecen dos criterios de comparación, que proporcionan condiciones para la convergencia de la integral impropia de una función no negativa.

Proposición 1. (Criterio de comparación directa)  Sean f,g:[\,a,\infty) \rightarrow \mathbb{R} dos funciones tales que 0 \leq f(x) \leq g(x) \;\; \forall x \geq a.

  1. Si \displaystyle{\int_a^\infty g(x)\,dx}  converge entonces \displaystyle{\int_a^\infty f(x)\,dx}  converge.
  2. Si \displaystyle{\int_a^\infty f(x)\,dx}  diverge entonces \displaystyle{\int_a^\infty g(x)\,dx}  diverge.

Ejercicio 2.  Estudiar la convergencia de la integral impropia \displaystyle{\int_2^\infty \frac{dx}{x^3-x^2-1}}.

Ejemplo 4.  La integral \displaystyle{\int_1^\infty \frac{dx}{\sqrt{1+x^3}}}  es convergente, puesto que \displaystyle{0 \leq \frac{1}{\sqrt{1+x^3}} \leq \frac{1}{x^{3/2}}\,,}   y la integral \displaystyle{\int_1^\infty \frac{dx}{x^{3/2}}}  converge según el ejercicio 1.

Ejemplo 5.  La integral de Euler–Poisson \displaystyle{\int_0^\infty e^{-x^2}\,dx}   converge, porque, de acuerdo con la observación 1, esta integral tiene el mismo carácter que la integral \displaystyle{\int_1^\infty e^{-x^2}\,dx.}  Ahora se tiene 0 \leq e^{-x^2} \leq e^{-x}\;\;\forall x \geq 1,   y es obvio que la integral \displaystyle{\int_1^\infty e^{-x}\,dx}   converge.

Ejercicio 3.  Estudiar la convergencia de la integral impropia \displaystyle{\int_1^\infty \frac{dx}{x-e^{-x}}}\,.

Proposición 2. (Criterio de comparación asintótica)  Sean f,g:[\,a,\infty) \rightarrow \mathbb{R}   funciones positivas y supongamos que existe el límite \displaystyle{L=\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{g(x)}\,.}

  1. Si 0 < L < \infty entonces \displaystyle{\int_a^\infty f(x)\,dx \sim \int_a^\infty g(x)\,dx.}
  2. Si L=0 y \displaystyle{\int_a^\infty g(x)\,dx < \infty} entonces \displaystyle{\int_a^\infty f(x)\,dx < \infty.}

Observación 2.  Las integrales impropias de primera especie del tipo \displaystyle{\int_{-\infty}^b f(x)\,dx}  se definen de forma análoga a las del tipo anterior, es decir,

\displaystyle{\int_{-\infty}^b f(x)\,dx := \lim_{B \rightarrow \infty} \int_{-B}^b f(x)\,dx.}

Observación 3.  Otra forma de integral impropia de primera especie es aquella del tipo \displaystyle{\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx.}   Se dice que esta integral es convergente si existe a \in \mathbb{R} de modo que ambas integrales impropias, \displaystyle{\int_{-\infty}^a f(x)\,dx,} y \displaystyle{\int_{a}^\infty f(x)\,dx} son convergentes, y en tal caso se define

\displaystyle{\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx := \int_{-\infty}^a f(x)\,dx + \int_{a}^\infty f(x)\,dx}

2. Integrales impropias de segunda especie

Se llaman así las integrales de funciones no acotadas extendidas a intervalos acotados.

Definición 2. Sea f: (a, b] \rightarrow \mathbb{R} una función tal que f \in \mathcal{R}([a+\varepsilon,A]) \;\;\forall \varepsilon>0.  Se dice que la integral impropia de segunda especie \displaystyle{\int_{a+}^b f(x)\,dx} converge si existe el límite

\displaystyle{\int_{a+}^b f(x)\,dx := \lim_{\varepsilon \rightarrow 0+} \int_{a+\varepsilon}^b f(x)\,dx.}

Análogamente, si f: [a, b) \rightarrow \mathbb{R} es una función con f \in \mathcal{R}([a,b-\varepsilon ]) \;\;\forall \varepsilon>0,  se define

\displaystyle{\int_{a}^{b-} f(x)\,dx := \lim_{\varepsilon \rightarrow 0+} \int_{a}^{b-\varepsilon} f(x)\,dx.}

Ejercicio 4.  Estudiar la convergencia de la integral impropia \displaystyle{\int_0^{1-} \frac{dx}{x^p}}\;\;  según los valores del parámetro p \in \mathbb{R}, y calcular su valor cuando sea convergente.

Ejercicio 5.  Estudiar la convergencia de la integral impropia \displaystyle{\int_0^{1-} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\,.}

Ejercicio 6.  Formular versiones adecuadas del criterio de comparación directa y del criterio de comparación asintótica para integrales impropias de segunda especie.

Ejercicio 7.  Estudiar la convergencia de la integral elíptica \displaystyle{\int_0^{1-} \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}\,.}

3. El criterio de la serie

El siguiente resultado pone de manifiesto la íntima conexión que existe entre las integrales impropias de primera especie y las series infinitas de números reales.

Proposición 3. (Criterio de la serie)  Supongamos que f:[1,\infty) \rightarrow \mathbb{R} es una función positiva y decreciente, sea n \in \mathbb{N} y sea a_n=f(n).   La integral impropia \displaystyle{\int_1^\infty f(x)\,dx} converge si y sólo si la serie infinita \displaystyle{\sum_{n=1}^\infty a_n} converge.

Ejercicio 8. Probar la convergencia de la integral impropia \displaystyle{\int_1^\infty \frac{e^x}{x^x}\,dx.}

Ejercicio 9. Probar la convergencia de la serie infinita \displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} \cdot \sin \frac{\pi}{n^2}}

4. Convergencia absoluta y condicional

Los criterios considerados hasta ahora son aplicables solamente a funciones no negativas. Las integrales impropias de funciones generales son harina de otro costal. Si \displaystyle{\int_a^\infty} f(x)\,dx es la integral impropia de una función cualquiera, también se puede considerar la integral impropia \displaystyle{\int_a^\infty} |f(x)|\,dx, cuyo integrando es una función no negativa, de modo que, a pesar de perder información sobre la integral original, los criterios anteriores para funciones no negativas pueden ser aplicados.

Definición 3. Se dice que una integral impropia \displaystyle{\int_a^\infty f(x) \,dx} converge absolutamente si la integral impropia \displaystyle{\int_a^\infty |f(x)|\,dx} es convergente.

Proposición 4.   Toda integral impropia absolutamente convergente es convergente.

Definición 4. Se dice que una integral impropia es condicionalmente convergente si converge pero no absolutamente.

Ejemplo 6.  La integral impropia \displaystyle{\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}\,dx}   converge condicionalmente.

5. Las funciones gamma y beta de Euler

La función gamma es una de la funciones más importantes del Análisis. Esta función se define mediante una integral impropia de primera especie que depende de un parámetro.

Definición 5.  (La función gamma de Euler)    \displaystyle{\Gamma (p) := \int_0^\infty x^{p-1} e^{-x}dx}\;\;\; \forall p>0.

Proposición 5. (Algunas propiedades de la función gamma)

  1. \Gamma(1)=1,
  2. \Gamma(p+1)=p\,\Gamma(p)    \forall p>0,
  3.   \Gamma(n)=(n-1)!  \forall n \in \mathbb{N}.

No menos importante es la función beta. Esta función se define mediante una integral impropia de segunda especie que depende de dos parámetros.

Definición 6.  (La función beta de Euler)    \displaystyle{\beta (p,q) := \int_0^1 x^{p-1} (1-x)^{q-1}dx}\;\;\; \forall p,q>0.

La siguiente identidad revela una estrecha relación entre ambas integrales eulerianas.

Proposición 6.  \displaystyle{\beta(p.q)=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}\;\;\; \forall p,q>0.}

Ejercicio 10.  Calcular \displaystyle{\beta(\frac{1}{2},\frac{1}{2})}  y deducir que  \displaystyle{\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}.}

Acerca de Miguel Lacruz

Gijón, Asturias, España, 1963
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33 respuestas a Integrales impropias

  1. Ana del Valle dijo:

    ejercicio 1:
    f(x)=1/x^p

    Si p>1 entonces f diverge para x<-(0,1) y converge para x <-(1, inf)
    Si p<1 entonces f diverge para x<-(1,inf) y converge para xinf] ) – 1

  2. Ana del Valle dijo:

    Perdón pero mi mensaje anterior no ha sido enviado como yo lo habia escrito, ¿problema de la página?

    • La mejor forma de editar fórmulas en WordPress es usando \LaTeX. Publicaré en breve una entrada a propósito de esto. Mientras tanto, prueba a pasar el ratón sobre las fórmulas para ver el código.

      Saludos,
      Miguel

  3. Pedro José dijo:

    ¿Podría resolver el siguiente ejercicio?

    Estudiar la convergencia según los valores de p ϵ R,de las integrales impropias:

    ∫_0^∞▒(〖arctg〗^p (x))/〖x(1+x)〗^2

    ∫_0^∞▒(〖arctg〗^p (x) log⁡〖(x)〗)/〖e^x x (1+x)〗^2

  4. Pedro dijo:

    \displaystyle{int_0^\infty \frac{arct^p (x) dx}{x(x+1)^2}

    \displaystyle{int_0^\infty \frac{arct^p (x) log (x) dx}{e^x x(x+1)^2}

  5. Pedro, supongo que te refieres a las integrales

    \displaystyle{\int_0^\infty\frac{\arctan^p(x)}{[x(x+1)]^2} dx,}

    \displaystyle{\int_0^\infty \frac{\arctan^p (x) \log (x) }{[e^x x(x+1)]^2}dx.}

    Dime si esto es así. Un saludo, Miguel.

  6. Pedro, la solución al primer problema comienza por la descomposición

    \displaystyle{\int_0^\infty\frac{\arctan^p(x)}{x(x+1)^2} dx = \int_0^1 \frac{\arctan^p(x)}{x(x+1)^2} dx + \int_1^\infty\frac{\arctan^p(x)}{x(x+1)^2} dx .}

    Ahora bien, \displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0+} \frac{\arctan^p (x)}{x^p}=1,} y \displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0+}\frac{1}{(1+x)^2}=1.} Aplicando el criterio de comparación asintótica resulta que

    \displaystyle{\int_0^1\frac{\arctan^p(x)}{x(x+1)^2} dx  \sim \int_0^1 \frac{dx}{x^{1-p}},}

    y esta integral converge si y sólo si p>0.

    Ahora consideramos la integral \displaystyle{\int_1^\infty\frac{\arctan^p(x)}{x(x+1)^2} dx } y observamos que si p>0 entonces

    \displaystyle{0 \leq \frac{\arctan^p(x)}{x(1+x)^2} \leq (\frac{\pi}{2})^p \cdot \frac{1}{x^3},}

    y como la integral \displaystyle{\int_1^\infty \frac{dx}{x^3}} converge, se sigue del criterio de comparación directa que la integral \displaystyle{\int_1^\infty\frac{\arctan^p(x)}{x(x+1)^2} dx } converge para todo p>0.

    Conclusión: La integral \displaystyle{\int_0^\infty\frac{\arctan^p(x)}{x(x+1)^2} dx} converge si y sólo si p>0.

    Puedes intentar adaptar este método para resolver el segundo problema. Si se resiste me lo dices y publico la solución correspondiente.

    Saludos,
    Miguel

    • Rocio dijo:

      Soy alumna de la Universidad de Sevilla, pero me ha gustado la explicación de la primera integral, aunque la segunda no me ha salido muy bien, si podría hacerla se lo agradecería.Gracias

  7. Ana del Valle dijo:

    intuyo que la integral del ejercicio 3 es divergente pero no encuentro una integral menor que ella tal que sea divergente, bueno tengo una pero creo que no sirve, es la misma que nos dan solo que el denominador multiplicado entero por x

    ¿es así?¿qué tengo mal?

    • Ana, para la integral del ejercicio 3 se tiene la desigualdad

      \displaystyle{0 \leq \frac{1}{x} \leq \frac{1}{x-e^{-x}},}

      y como la integral \displaystyle{\int_1^\infty \frac{dx}{x}} diverge, se sigue del criterio de comparación directa que la integral \displaystyle{\int_1^\infty \frac{dx}{x-e^{-x}}} también diverge.

      Saludos,
      Miguel

  8. Ivan dijo:

    Hola queria saber si me podrias ayudar, tengo que demostrar las alternativas de convergencia de la integral 1/x^p en el intervalo a=0 hasta b=1 para los posibles valores de p. Muchas gracias

    • Iván, si p=1 entonces la integral diverge porque

      \displaystyle{\int_0^1 \frac{dx}{x}= \lim_{\varepsilon \rightarrow 0+} \int_\varepsilon^1 \frac{dx}{x}= \lim_{\varepsilon \rightarrow 0+} (\log 1 - \log \varepsilon) = \infty.}

      Además, si p \neq 0 entonces

      \displaystyle{\int_0^1 \frac{dx}{x^p}= \lim_{\varepsilon \rightarrow 0+} \int_\varepsilon^1 \frac{dx}{x^p}= \lim_{\varepsilon \rightarrow 0+} \frac{1}{1-p}( \varepsilon^{1-p}-1),}

      y este límite existe si y sólo si 1-p>0. La conclusión es que la integral converge si y sólo si p < 1.

      Saludos,
      Miguel

  9. Ivan dijo:

    Muchas gracias Miguel, entendi perfecto. Un grande felicitaciones por tu trabajo

  10. rosi dijo:

    Hola tengo la integral impropia: integral definida entre e y 10, de la función 1/(x*lnx*ln(lnx)), al evaluar la función entre los limites, determino que no esta acotada en el valor de e, al resolverla obtengo que es convergente. Estoy insegura del resultado me podrias ayudar por favor

  11. natalia dijo:

    hola me puedes ayudar con estas integrales ∫de 1 a ∞ del lnx/e ala 2x y la integral ∫ de 0 a π /2 de dx/xsenx disculpa por la notacion espero que entiendas.

  12. Natalia,
    Supongo que te refieres a las integrales impropias

    \displaystyle{\int_1^\infty \left ( \frac{\log x}{e} \right )^{2x}\,dx, \;\;\; \int_0^{\pi/2} \frac{dx}{x \sin x}}

    La primera integral es divergente porque el integrando es \geq 1 cuando x \geq e.

    La segunda integral también es divergente según el criterio de comparación, porque cuando 0 < x \leq \pi/2 se tiene

    \displaystyle{\frac{1}{x \sin x} \geq \frac{1}{x^2}}

    y la integral impropia

    \displaystyle{\int_0^{\pi/2} \frac{dx}{x^2}}

    es divergente.

  13. Natalia,
    La integral impropia

    \displaystyle{\int_1^\infty \frac{\log x}{e^{2x}}\,dx}

    es convergente según el criterio de comparación porque cuando x \geq 1 se tiene

    \displaystyle{ 0  \leq \frac{\log x}{e^{2x}} \leq \frac{1}{e^x}}

    y la integral impropia

    \displaystyle{\int_1^\infty \frac{dx}{e^{x}}\,dx}

    es convergente.

  14. Angie dijo:

    hola oye me podrias ayudar con esta por favor
    integral de 1 hasta infinito (x^3)/(x^5+2) dx,
    necesito usar el teorema para determinar si es convergente o divergente; gracias

  15. Eso significa que la integral converge.

    • Aleks dijo:

      muy buenos tus aportes!!!
      necesito dar respuesta a esto!! echame una mano
      1.¿Es posible hallar un número n tal que integral de 0 a infinito de x elevado a la n dx es convergente?
      2. ¿Para que valores de a es integral de 0 a infinito de euler elevado a la (ax) cos x dx convergente? evaluar la integral para esos valores de a.

  16. Aleks dijo:

    me gustaria saber la respuesta amigo gracias!!!

  17. Jhose dijo:

    Buenas me gustaría saber las clasificaciones y propiedades de las integrales impopias

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