Extended eigenvalues for bilateral weighted shifts

My paper on the extended eigenvalues of bilateral weighted shifts has been accepted for publication in Journal of Mathematical Analysis and applications. This is joint work with Fernando León Saavedra and Luis J. Muñoz Molina. Here is a link to the on line version of this paper.

http://www.sciencedirect.com/science/journal/aip/0022247X

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La fórmula de Bailey-Borwein-Pluff

Esta notable identidad asegura que

\displaystyle{\pi = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{16^k} \left ( \frac{4}{8k+1}-\frac{2}{8k+4} - \frac{1}{8k+5} - \frac{1}{8k+6}\right ).}

La fórmula BBP se utiliza para calcular cualquier dígito hexadecimal de \pi sin necesidad de calcular los dígitos anteriores, reduciendo la complejidad del cálculo.

La demostración de esta identidad es bastante sencilla porque sólo utiliza conocimientos básicos de cálculo infinitesimal. Tenemos por una parte

\displaystyle{\int_0^{1/\sqrt{2}} \frac{x^{k-1}}{1-x^8}\,dx   =\int_0^{1/\sqrt{2}} \sum_{j=1}^\infty x^{8j+k-1}\,dx  = \frac{1}{2^{k/2}}\sum_{j=0}^\infty \frac{1}{16^j (8j+k)},}

de modo que

\displaystyle{\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{16^k} \left ( \frac{4}{8k+1}-\frac{2}{8k+4} - \frac{1}{8k+5} - \frac{1}{8k+6}\right )=\int_0^{1/\sqrt{2}}\frac{4 \sqrt{2}-8x^3+4 \sqrt{2}x^4-8x^5}{1-x^8}\,dx.}

Aplicando el cambio de variable y = \sqrt{2}x\, y el algoritmo de descomposición en fracciones simples esta integral se convierte en

\displaystyle{\int_0^1 \frac{16y-16}{y^4-2y^3+4y-4}\,dy=\int_0^1 \frac{4y}{y^2-1}\,dy-\int_0^1 \frac{4y-8}{y^2-2y+2}\,dy=\pi.}

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La distribución normal

Se dice que una variable aleatoria continua X obedece a una distribución normal de parámetros \mu,  \sigma y se denota X \in N(\mu, \sigma) si su función de densidad de probabilidad viene dada por la expresión

\displaystyle{f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \exp \left [ - \frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2} \right ].}

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El problema de los cumpleaños

¿Cuál es el mínimo número de personas para que dos de ellas, con una probabilidad mayor o igual que 1/2, tengan la misma fecha de cumpleaños?

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Juan de Mairena

-Señor Gonzálvez.
-Presente.
-Respóndame sin titubear. ¿Se puede comer judías con tomate? (El maestro mira atentamente a su reloj.)
-¡Claro que sí!
-¿Y tomate con judías?
-También.
-¿Y judíos con tomate?
-Eso… no estaría bien.
-¡Claro! Sería un caso de antropofagia. Pero siempre se podrá comer tomate con judíos. ¿No es cierto?
-Eso…
-Reflexione un momento.
-Eso, no.
El chico ha comprendido la pregunta.
-Que me traigan una cabeza de burro para este niño.

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El cuerno de Gabriel

El cuerno de Gabriel o trompeta de Torricelli es la superficie de revolución que se obtiene al hacer girar la gráfica de la función f(x) = 1/x en el dominio x \geq 1 alrededor del eje de abscisas en el espacio euclídeo \mathbb R^3.

cuerno_gabriel

El volumen encerrado por esta superficie viene dado por la integral

\displaystyle{V=\pi \int_1^{+\infty} f(x)^2 \,dx= \pi \int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^2} =\pi,}

mientras que el área lateral viene dada por la integral

\displaystyle{A=2\pi \int_1^{+\infty} f(x) \sqrt{1+f^\prime(x)^2} \,dx}

\displaystyle{= 2 \pi \int_1^{+\infty} \frac{1}{x} \sqrt{1+\frac{1}{x^4}}\,dx}

\displaystyle{\geq 2 \pi\int_1^{+\infty} \frac{dx}{x} = +\infty.}

Tenemos entonces una paradoja: mientras que el cuerno de Gabriel contiene una cantidad finita de pintura, hace falta una cantidad infinita de pintura para pintar su superficie. ¿Sería el lector capaz de explicar esta paradoja?

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