El lema de Zorn

El lema de Zorn es un axioma de teoría de conjuntos equivalente al axioma de elección, que constituye una poderosa herramienta para probar resultados de existencia en diversas áreas de las Matemáticas como Análisis Funcional (teorema de Hahn-Banach), Topología (teorema de Tychonov), Álgebra Lineal (teorema de la base) y Álgebra Conmutativa (existencia de ideales propios maximales en anillos con unidad).

Antes de poder enunciar el lema de Zorn es necesario proporcionar algunas definiciones.

Un orden en un conjunto X es una relación binaria \, \leq\, reflexiva, antisimétrica y transitiva, es decir,

1º. x \leq x,\, para todo x \in X,
2º. si x \leq y\; e \;y \leq x\, entonces \,x=y,
3º. si \,x \leq y \leq z\, entonces \,x \leq z.

Si además se verifica

4º. x \leq y\; o \;y \leq x\, para todo \;, x,\,y \in X,

entonces se dice que \, \leq\, es un orden total. Si el orden no es necesariamente total entonces se dice que es un orden parcial.

El conjunto \mathbb N de los números naturales con el orden usual es un conjunto totalmente ordenado, mientras que la familia de los subconjuntos \mathcal P(X) de un conjunto X con la relación de inclusión \subseteq es un conjunto parcialmente ordenado.

Se dice que un subconjunto C\, de un conjunto parcialmente ordenado (X, \leq ) es una cadena si (C, \leq ) está totalmente ordenado.

Se dice que un elemento c\, de un. conjunto parcialmente ordenado (X, \leq )  es una cota superior de un subconjunto S \subseteq X si se verifica s \leq      c para todo s \in S, y si además c \in S entonces se dice que c es el máximo de S.

Se dice que un elemento m\, de un. conjunto parcialmente ordenado (X, \leq )  es un elemento maximal si la relación m \leq x implica x=m para todo  x \in X. Un ejercicio sencillo pero importante es observar que  que si (X, \leq )  tiene un máximo m \in X  entonces m\, es un elemento maximal, pero que el recíproco es falso.

Se dice que un. conjunto parcialmente ordenado (X, \leq )  es inductivo si toda cadena en X posee una cota superior.

Lema de Zorn. Todo conjunto inductivo posee un elemento maximal.

 

Publicado en AF 1920 | Deja un comentario

Las series divergentes son una invención del diablo

El matemático Niels Henrik Abel (1802-1829) falleció un 6 de abril.

Las series divergentes son una invención del diablo. Usándolas se puede llegar a cualquier conclusión y es así cómo estas series han dado lugar a tantas falacias y paradojas… Con la excepción de la serie geométrica no existe en toda la matemática una sola serie infinita cuya suma haya sido determinada rigurosamente. En otras palabras, las cosas más importantes en matemáticas son las que tienen un fundamento más débil… El que muchos resultados sean correctos a pesar de ello es extraordinariamente sorprendente. Yo estoy tratando de encontrar una razón para ello; es una cuestión profundamente interesante.

Niels Henrik Abel

Ver la entrada original 148 palabras más

Publicado en Miscelánea, SFIL_1011 | Deja un comentario

La Musica Notturna di Madrid. Passacalle (Luigi Boccherini)

duobagatela

Interpretación de una versión abreviada del Passacalle de La Musica Notturna di Madrid, de Luigi Boccherini, música que aparece en una escena de la película Master and Commander.

Abridged version of the Passacalle from La Musica Notturna di Madrid by Luigi Boccherini.

El dúo Bagatela está formado por:

Plamen Velev: cello
Javier Abraldes: guitarra

Contacto:

bagatela.es@gmail.com

Ver la entrada original

Publicado en SFIL_1011 | Deja un comentario

Monet pintó el acantilado de Étretat del 5 de febrero de 1883 a las 16:53

Arte y Astronomía

Un grupo de astrónomos de la Texas State University ha fechado con precisión el momento que representa El acantilado de Étretat. Puesta de sol del pintor impresionista Claude Monet: la imagen plasma el paisaje del 5 de febrero de 1883, a las 16:53.

Claude Monet, "El acantilado de Étretat. Puesta de sol", 1883 Claude Monet, “El acantilado de Étretat. Puesta de sol”, 1883

El equipo, liderado por el profesor de Astronomía y Física Donald Olson, ha utilizado una técnica denominada astronomía forense.

Ver la entrada original 410 palabras más

Publicado en SFIL_1011 | Deja un comentario

Georg Pick y su famoso teorema

220px-GeorgPickEl matemático Georg Alexander Pick (1859-1942) nació un 10 de agosto.

En 1899, prueba su famoso teorema –el teorema de Pick– que relaciona el área de un polígono simple cuyos vértices tienen coordenadas enteras –un polígono reticular– con el número de puntos de coordenadas enteras en su interior y en su frontera.

Lleva también su nombre el problema de interpolación de Nevanlinna–Pick.

Falleció en el campo de concentración de Theresienstadt: en 1969 el matemático Hugo Steinhaus redescubrió el teorema de Pick, y lo publicó en su Mathematical Snapshots (problema 107).

Ver la entrada original 50 palabras más

Publicado en SFIL_1011 | Deja un comentario

Protegido: Calificaciones Cálculo infinitesimal 16/17

Este contenido está protegido por contraseña. Para verlo introduce tu contraseña a continuación:

Publicado en Calculo1617, SFIL_1011

Protegido: Calificaciones ::: Cálculo infinitesimal ::: Grupo A

Este contenido está protegido por contraseña. Para verlo introduce tu contraseña a continuación:

Publicado en Calculo1617

Protegido: Calificaciones ::: Cálculo infinitesimal ::: Grupo E

Este contenido está protegido por contraseña. Para verlo introduce tu contraseña a continuación:

Publicado en Calculo1617

Calificaciones MMI ::: Septiembre 2016

Calificaciones MMI ::: Examen de septiembre

Seguir leyendo

Publicado en MMI 1516 | Deja un comentario

Protegido: Calificaciones SFIL

Este contenido está protegido por contraseña. Para verlo introduce tu contraseña a continuación:

Publicado en SFIL_1516