Calificaciones MMI ::: Septiembre 2016

Calificaciones MMI ::: Examen de septiembre

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Los polinomios de Rudin-Shapiro

Consideremos un polinomio P(z)=\varepsilon_0 + \varepsilon_1z+ \cdots + \varepsilon_nz^n con coeficientes \varepsilon_j \in \{-1,1\}.

El módulo máximo de P(z) en la circunferencia unidad viene dado por

\|P\|_\infty = \max \{ |P(e^{i \theta}) | \colon \theta  \in \mathbb R\}

Una cota inferior para \|P\|_\infty es la norma hilbertiana

\|P\|_2 = \left ( \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi}|P(e^{i \theta}) |^2\,d\theta \right )^{1/2}.

Se sigue de la identidad de Parseval que \|P\|_2 = (n+1)^{1/2} y por lo tanto

\|P\|_\infty \geq (n+1)^{1/2}.

Se plantea el problema de hallar polinomios P_n de grado n tales que \|P_n\|_\infty \leq c (n+1)^{1/2} donde c>1 es una constante. Una solución muy ingeniosa viene dada por medio de un procedimiento inductivo descubierto independientemente por W. Rudin y H.S. Shapiro. Sean R_0=S_0=1 y sean

R_{k+1}(z)= R_k(z)+z^{2^k}S_k(z),
S_{k+1}(z)= R_k(z)-z^{2^k}S_k(z),

Está claro que R_k.S_k son polinomios de grado 2^k-1 con coeficientes \pm 1. Además se tiene

|R_{k+1}(z)|^2 + |S_{k+1}(z)|^2 = 2 \left (|R_{k}(z)|^2 + |S_{k}(z)|^2  \right ),

de donde se deduce que |R_k(z)|^2 + |S_k(z)|^2 = 2^{k+1} de modo que si P_k=R_k o P_k=S_k entonces \|P_k\|_\infty \leq \sqrt{2} (n+1)^{1/2} donde n=2^k-1.

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Extended eigenvalues for bilateral weighted shifts

My paper on the extended eigenvalues of bilateral weighted shifts has been accepted for publication in Journal of Mathematical Analysis and applications. This is joint work with Fernando León Saavedra and Luis J. Muñoz Molina. Here is a link to the on line version of this paper.

http://www.sciencedirect.com/science/journal/aip/0022247X

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La fórmula de Bailey-Borwein-Pluff

Esta notable identidad asegura que

\displaystyle{\pi = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{16^k} \left ( \frac{4}{8k+1}-\frac{2}{8k+4} - \frac{1}{8k+5} - \frac{1}{8k+6}\right ).}

La fórmula BBP se utiliza para calcular cualquier dígito hexadecimal de \pi sin necesidad de calcular los dígitos anteriores, reduciendo la complejidad del cálculo.

La demostración de esta identidad es bastante sencilla porque sólo utiliza conocimientos básicos de cálculo infinitesimal. Tenemos por una parte

\displaystyle{\int_0^{1/\sqrt{2}} \frac{x^{k-1}}{1-x^8}\,dx   =\int_0^{1/\sqrt{2}} \sum_{j=1}^\infty x^{8j+k-1}\,dx  = \frac{1}{2^{k/2}}\sum_{j=0}^\infty \frac{1}{16^j (8j+k)},}

de modo que

\displaystyle{\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{16^k} \left ( \frac{4}{8k+1}-\frac{2}{8k+4} - \frac{1}{8k+5} - \frac{1}{8k+6}\right )=\int_0^{1/\sqrt{2}}\frac{4 \sqrt{2}-8x^3+4 \sqrt{2}x^4-8x^5}{1-x^8}\,dx.}

Aplicando el cambio de variable y = \sqrt{2}x\, y el algoritmo de descomposición en fracciones simples esta integral se convierte en

\displaystyle{\int_0^1 \frac{16y-16}{y^4-2y^3+4y-4}\,dy=\int_0^1 \frac{4y}{y^2-1}\,dy-\int_0^1 \frac{4y-8}{y^2-2y+2}\,dy=\pi.}

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La distribución normal

Se dice que una variable aleatoria continua X obedece a una distribución normal de parámetros \mu,  \sigma y se denota X \in N(\mu, \sigma) si su función de densidad de probabilidad viene dada por la expresión

\displaystyle{f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \exp \left [ - \frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2} \right ].}

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El problema de los cumpleaños

¿Cuál es el mínimo número de personas para que dos de ellas, con una probabilidad mayor o igual que 1/2, tengan la misma fecha de cumpleaños?

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