El lema de Zorn es un axioma de teoría de conjuntos equivalente al axioma de elección, que constituye una poderosa herramienta para probar resultados de existencia en diversas áreas de las Matemáticas como Análisis Funcional (teorema de Hahn-Banach), Topología (teorema de Tychonov), Álgebra Lineal (teorema de la base) y Álgebra Conmutativa (existencia de ideales propios maximales en anillos con unidad).
Antes de poder enunciar el lema de Zorn es necesario proporcionar algunas definiciones.
Un orden en un conjunto X es una relación binaria reflexiva, antisimétrica y transitiva, es decir,
1º. para todo
2º. si e
entonces
3º. si entonces
Si además se verifica
4º. o
para todo
entonces se dice que es un orden total. Si el orden no es necesariamente total entonces se dice que es un orden parcial.
El conjunto de los números naturales con el orden usual es un conjunto totalmente ordenado, mientras que la familia de los subconjuntos
de un conjunto
con la relación de inclusión
es un conjunto parcialmente ordenado.
Se dice que un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado
es una cadena si
está totalmente ordenado.
Se dice que un elemento de un. conjunto parcialmente ordenado
es una cota superior de un subconjunto
si se verifica
para todo
y si además
entonces se dice que
es el máximo de
Se dice que un elemento de un. conjunto parcialmente ordenado
es un elemento maximal si la relación
implica
para todo
Un ejercicio sencillo pero importante es observar que que si
tiene un máximo
entonces
es un elemento maximal, pero que el recíproco es falso.
Se dice que un. conjunto parcialmente ordenado es inductivo si toda cadena en
posee una cota superior.
Lema de Zorn. Todo conjunto inductivo posee un elemento maximal.