Las series divergentes son una invención del diablo

El matemático Niels Henrik Abel (1802-1829) falleció un 6 de abril.

Las series divergentes son una invención del diablo. Usándolas se puede llegar a cualquier conclusión y es así cómo estas series han dado lugar a tantas falacias y paradojas… Con la excepción de la serie geométrica no existe en toda la matemática una sola serie infinita cuya suma haya sido determinada rigurosamente. En otras palabras, las cosas más importantes en matemáticas son las que tienen un fundamento más débil… El que muchos resultados sean correctos a pesar de ello es extraordinariamente sorprendente. Yo estoy tratando de encontrar una razón para ello; es una cuestión profundamente interesante.

Niels Henrik Abel

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La Musica Notturna di Madrid. Passacalle (Luigi Boccherini)

duobagatela

Interpretación de una versión abreviada del Passacalle de La Musica Notturna di Madrid, de Luigi Boccherini, música que aparece en una escena de la película Master and Commander.

Abridged version of the Passacalle from La Musica Notturna di Madrid by Luigi Boccherini.

El dúo Bagatela está formado por:

Plamen Velev: cello
Javier Abraldes: guitarra

Contacto:

bagatela.es@gmail.com

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Monet pintó el acantilado de Étretat del 5 de febrero de 1883 a las 16:53

Arte y Astronomía

Un grupo de astrónomos de la Texas State University ha fechado con precisión el momento que representa El acantilado de Étretat. Puesta de sol del pintor impresionista Claude Monet: la imagen plasma el paisaje del 5 de febrero de 1883, a las 16:53.

Claude Monet, "El acantilado de Étretat. Puesta de sol", 1883 Claude Monet, “El acantilado de Étretat. Puesta de sol”, 1883

El equipo, liderado por el profesor de Astronomía y Física Donald Olson, ha utilizado una técnica denominada astronomía forense.

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Georg Pick y su famoso teorema

220px-GeorgPickEl matemático Georg Alexander Pick (1859-1942) nació un 10 de agosto.

En 1899, prueba su famoso teorema –el teorema de Pick– que relaciona el área de un polígono simple cuyos vértices tienen coordenadas enteras –un polígono reticular– con el número de puntos de coordenadas enteras en su interior y en su frontera.

Lleva también su nombre el problema de interpolación de Nevanlinna–Pick.

Falleció en el campo de concentración de Theresienstadt: en 1969 el matemático Hugo Steinhaus redescubrió el teorema de Pick, y lo publicó en su Mathematical Snapshots (problema 107).

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Protegido: Calificaciones Cálculo infinitesimal 16/17

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Protegido: Calificaciones ::: Cálculo infinitesimal ::: Grupo A

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Protegido: Calificaciones ::: Cálculo infinitesimal ::: Grupo E

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Calificaciones MMI ::: Septiembre 2016

Calificaciones MMI ::: Examen de septiembre

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Los polinomios de Rudin-Shapiro

Consideremos un polinomio P(z)=\varepsilon_0 + \varepsilon_1z+ \cdots + \varepsilon_nz^n con coeficientes \varepsilon_j \in \{-1,1\}.

El módulo máximo de P(z) en la circunferencia unidad viene dado por

\|P\|_\infty = \max \{ |P(e^{i \theta}) | \colon \theta  \in \mathbb R\}

Una cota inferior para \|P\|_\infty es la norma hilbertiana

\|P\|_2 = \left ( \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi}|P(e^{i \theta}) |^2\,d\theta \right )^{1/2}.

Se sigue de la identidad de Parseval que \|P\|_2 = (n+1)^{1/2} y por lo tanto

\|P\|_\infty \geq (n+1)^{1/2}.

Se plantea el problema de hallar polinomios P_n de grado n tales que \|P_n\|_\infty \leq c (n+1)^{1/2} donde c>1 es una constante. Una solución muy ingeniosa viene dada por medio de un procedimiento inductivo descubierto independientemente por W. Rudin y H.S. Shapiro. Sean R_0=S_0=1 y sean

R_{k+1}(z)= R_k(z)+z^{2^k}S_k(z),
S_{k+1}(z)= R_k(z)-z^{2^k}S_k(z),

Está claro que R_k.S_k son polinomios de grado 2^k-1 con coeficientes \pm 1. Además se tiene

|R_{k+1}(z)|^2 + |S_{k+1}(z)|^2 = 2 \left (|R_{k}(z)|^2 + |S_{k}(z)|^2  \right ),

de donde se deduce que |R_k(z)|^2 + |S_k(z)|^2 = 2^{k+1} de modo que si P_k=R_k o P_k=S_k entonces \|P_k\|_\infty \leq \sqrt{2} (n+1)^{1/2} donde n=2^k-1.

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