Georg Pick y su famoso teorema

220px-GeorgPickEl matemático Georg Alexander Pick (1859-1942) nació un 10 de agosto.

En 1899, prueba su famoso teorema –el teorema de Pick– que relaciona el área de un polígono simple cuyos vértices tienen coordenadas enteras –un polígono reticular– con el número de puntos de coordenadas enteras en su interior y en su frontera.

Lleva también su nombre el problema de interpolación de Nevanlinna–Pick.

Falleció en el campo de concentración de Theresienstadt: en 1969 el matemático Hugo Steinhaus redescubrió el teorema de Pick, y lo publicó en su Mathematical Snapshots (problema 107).

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Protegido: Calificaciones Cálculo infinitesimal 16/17

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Calificaciones MMI ::: Septiembre 2016

Calificaciones MMI ::: Examen de septiembre

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Los polinomios de Rudin-Shapiro

Consideremos un polinomio P(z)=\varepsilon_0 + \varepsilon_1z+ \cdots + \varepsilon_nz^n con coeficientes \varepsilon_j \in \{-1,1\}.

El módulo máximo de P(z) en la circunferencia unidad viene dado por

\|P\|_\infty = \max \{ |P(e^{i \theta}) | \colon \theta  \in \mathbb R\}

Una cota inferior para \|P\|_\infty es la norma hilbertiana

\|P\|_2 = \left ( \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi}|P(e^{i \theta}) |^2\,d\theta \right )^{1/2}.

Se sigue de la identidad de Parseval que \|P\|_2 = (n+1)^{1/2} y por lo tanto

\|P\|_\infty \geq (n+1)^{1/2}.

Se plantea el problema de hallar polinomios P_n de grado n tales que \|P_n\|_\infty \leq c (n+1)^{1/2} donde c>1 es una constante. Una solución muy ingeniosa viene dada por medio de un procedimiento inductivo descubierto independientemente por W. Rudin y H.S. Shapiro. Sean R_0=S_0=1 y sean

R_{k+1}(z)= R_k(z)+z^{2^k}S_k(z),
S_{k+1}(z)= R_k(z)-z^{2^k}S_k(z),

Está claro que R_k.S_k son polinomios de grado 2^k-1 con coeficientes \pm 1. Además se tiene

|R_{k+1}(z)|^2 + |S_{k+1}(z)|^2 = 2 \left (|R_{k}(z)|^2 + |S_{k}(z)|^2  \right ),

de donde se deduce que |R_k(z)|^2 + |S_k(z)|^2 = 2^{k+1} de modo que si P_k=R_k o P_k=S_k entonces \|P_k\|_\infty \leq \sqrt{2} (n+1)^{1/2} donde n=2^k-1.

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Extended eigenvalues for bilateral weighted shifts

My paper on the extended eigenvalues of bilateral weighted shifts has been accepted for publication in Journal of Mathematical Analysis and applications. This is joint work with Fernando León Saavedra and Luis J. Muñoz Molina. Here is a link to the on line version of this paper.

http://www.sciencedirect.com/science/journal/aip/0022247X

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La fórmula de Bailey-Borwein-Pluff

Esta notable identidad asegura que

\displaystyle{\pi = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{16^k} \left ( \frac{4}{8k+1}-\frac{2}{8k+4} - \frac{1}{8k+5} - \frac{1}{8k+6}\right ).}

La fórmula BBP se utiliza para calcular cualquier dígito hexadecimal de \pi sin necesidad de calcular los dígitos anteriores, reduciendo la complejidad del cálculo.

La demostración de esta identidad es bastante sencilla porque sólo utiliza conocimientos básicos de cálculo infinitesimal. Tenemos por una parte

\displaystyle{\int_0^{1/\sqrt{2}} \frac{x^{k-1}}{1-x^8}\,dx   =\int_0^{1/\sqrt{2}} \sum_{j=1}^\infty x^{8j+k-1}\,dx  = \frac{1}{2^{k/2}}\sum_{j=0}^\infty \frac{1}{16^j (8j+k)},}

de modo que

\displaystyle{\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{16^k} \left ( \frac{4}{8k+1}-\frac{2}{8k+4} - \frac{1}{8k+5} - \frac{1}{8k+6}\right )=\int_0^{1/\sqrt{2}}\frac{4 \sqrt{2}-8x^3+4 \sqrt{2}x^4-8x^5}{1-x^8}\,dx.}

Aplicando el cambio de variable y = \sqrt{2}x\, y el algoritmo de descomposición en fracciones simples esta integral se convierte en

\displaystyle{\int_0^1 \frac{16y-16}{y^4-2y^3+4y-4}\,dy=\int_0^1 \frac{4y}{y^2-1}\,dy-\int_0^1 \frac{4y-8}{y^2-2y+2}\,dy=\pi.}

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